The Geometer's Sketchpad5.06 中文免费版几何画板软件

The Geometer's Sketchpad也就是几何画板，是一款几何动态教学软件，这款软件为你展示最直观的几何数据模型，运行规律，绘制出的几何图形样本常备用在教师指导教学上，如果你喜欢这款软件，那就来下载使用吧！

几何画板实例

外公切线

一、制作效果

如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。

二、思路分析

我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法

以PO为直径作圆(先作线段OP的中点，找到圆心)→作两圆的交点C、D(这一步可省)→作直线PC、PD。是不是很简单?是不是想起外公切线的尺规作图(其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线)，想不起试着分析一下。

如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。

三、操作步骤

1. 任画两圆(A,D)(B，C)

2. 度量两圆的半径，并计算它们的差

3. 以AB为直径画圆

4. 画圆(A，(半径⊙AD)-(半径⊙BC=0.94厘米))，与以AB为直径画的圆交于E(其中一个交点)。

5. 作直线BE;作直线(A，E)交圆(A,D)于F

6. 作平行线(F，直线BE)

7. 作直线FG关于线段BA的对称直线

四、拓展研究

1.这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了(您知道为什么吗?)，如何完善?

只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下

(1)、计算两圆半径的差(注意是大圆半径减小圆半径)

(2)、画圆(B，(半径⊙BC)-(半径⊙AD=0.94厘米))，与以AB为直径画的圆交于I(其中一个交点)。

(3)、作直线(A,I);作直线(B，I)交圆(B,C)于H

(4)、作平行线(H，直线AI)

(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。如下图

就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。您能继续完善吗?

2.尺规作图得分三种情况(半径之间大于、小于、等于)，有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法

如上图，分析一下作法。两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。具体步骤如下

(1)、度量AB即圆心距

(2)、计算

(3)、B点饶A为中心以计算结果为旋转角旋转得到

(4)、作射线(A， )交圆AD于H

(5)、作平行线(B，射线AH)，交圆BC于I

(6)、作直线(H，I)即两圆的一条外公切线

(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。

试一试 您能否作圆的内公切线(分别用代数构造和几何构造)

圆心轨迹

一、制作结果

如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆(C，D)的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线。

二、思路分析

如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗?我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。看看下图，是如何确定圆心C的?分析分析作图步骤

三、操作步骤

1. 构造两已知圆的半径画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E;隐藏点A、B。→画线段(D，C)(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r(想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段)

2. 构造圆心 画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I(这两点就是已知圆的圆心)

3. 构造已知圆 画圆(H，线段R)画圆(I，线段r)

4. 构造辅助圆 画直线(I，J)，其中J为圆I上任一点J→画圆(J，线段R)→画圆J和直线IJ的交点为L。

5. 构造所求圆 作线段(H，L)→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆(K，J)

6. 作轨迹(K，J)

7. 作J点的动画

8. 隐藏辅助线，修饰课件。

四、拓展研究

通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕-同外切;同内切;一外一内，尽在其中。

坐标运动

一、制作结果

单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。

二、思路分析

我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动?如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。所以线段运动，其中点的轨迹是圆。您不难想到下面的构造：画圆(A,H)→画半径(AG)→画圆(G,A)→画线段(E,F)。(这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形)拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。

此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。想想如何构造△AGF?

作垂线j(G,x轴)→点 (A关于直线j的反射点)→射线( ，G)→线段( ，I)

再拖动G点试试，成功!

换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆(点，线段AC)。并且四边形ABCD是矩形(为什么?)，您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗?如不明白，请看操作步骤。

三、操作步骤

1. 建立直角坐标系

2. 画圆(A,E)

3. 画点C C为圆上任意一点

4. 作垂线(点C，x轴，y轴)

5. 画线段(点B，点D)

6. 作点C动画

7.隐藏不必要对象。

四、拓展研究

1)制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。

2)坐标轴可用两条垂直的直线代替。更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。

旋转对象

画正方形

运行结果：

画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。

基本思路：

本例将学习按固定的角度来旋转对象，

1.画一条线段，用来做正方形的一边

2.双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900(逆时针方向)，得第二条边

3.双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转-90度(顺时针方向)，得第三条边

4.连结出第四条边。

操作步骤：

1.画线段AB。

2.用选择工具双击点A，点A被标记为中心。

3.用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”—“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作设置。

4.双击点B，标记新的中心。

5.连结上方两个顶点得第四边。

拓展应用：

1.本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。

2.并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。

3.画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试

中心对称

运行结果：

拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，

中间结果

最后结果

基本思路：

本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。

1.为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转180度，形成中心对称，

2.画一个角并标记这个角

3.再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转

4.拖动标记的角为0度，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从0度到180度，可以看到旋转180度后重合的过程。

操作步骤：

1.准备工作。

2.用选择工具双击点O，标记为中心。

3.同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转180度。

4.用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”—“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。

5.同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”—“旋转”，在弹出的对话框中作设置。

6.为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色。

7.拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合。

说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角;按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。

标记的角也可以是度量角所得的度数(这时只能是正角)，还可以是由计算器计算出来的度数(可正可负)。

练习：

1.用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些?

几何画板—平移对象

平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。

几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。

在极坐标系中最多可以组合出四种方法

在直角坐标系中可以组合出四种方法

按标记的向量平移有一种方法

画圆

运行结果：

得到一个半径为 cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。

基本思路：

根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距 cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。

操作步骤：

1.画一个点A。

2.选取点A，由菜单“变换”—“平移”， 在弹出的对话框中作如图10的设置，平移。

3.选中这两点，(先选的为圆心)，由菜单“构造”—“以圆心和圆周上的点绘圆”。

4.最后，无论如何移动，圆的半径固定为 cm。

三角形

运行结果：

拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。

基本思路：

本例学习根据标记的向量平移对象，

1.画好一个三角形。

2.另画一条线段(为方便观察，画成水平线)。

3.在线段上画一点。

4.标记线段左端点到线段上一点的向量。

5.将三角形按标记的向量平移。

操作步骤：

1.画△ABC。

2.画线段DE，在DE上画一点F

3.用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”—“标记向量”，标记从点D到F的向量。

4.选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”—“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置(如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移)。

5.用文本工具标记新三角形的三个顶点。

四边形

前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。

本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。

操作步骤：

1.新建一个几何画板文件。

2.用“画线段”工具和“文本工具”先完成。

3.用“选择工具”按顺序选取点A、B，由菜单“变换”—“标记向量”标记一个从点A指向点B的向量。

4.确保只选中线段AD和点D，由菜单“变换”—“平移”，设置线段AD和点D按向量AB平移。

5.作出第四条边，改第四顶点标签为C。

勾股定理

利用几何画板验证勾股定理的方法有很多种，通过当场演示，让学生体会到动手实践在解决数学问题中的重要性，同时也让学生体会到用面积法验证公式的直观性、普遍性，从而形成一种等积带换的思想，为以后的学习奠定基础。[2]

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”不放，在操作区绘制出一条水平线段AB。在其被选中状态下，依次单击“构造”→“中点”菜单命令，作出线段AB的中点，并用“文本”工具，修改标签为O。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点O和点A，依次单击“构造”→“以圆心和圆周上点绘圆”，作出圆O。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆上，当圆呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出在圆上的一点，修改标签为C。按快捷键“ctrl+L”，分别作出线段AC和线段BC，绘制出直角三角形ABC。

第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选择对象。然后选中圆O，按快捷键“ctrl+L”，隐藏圆O。

第4步，移动光标至点B，双击点B，标记为中心点，选中点A和线段AB，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，弹出对话框，按照图87所示输入参数值，按“旋转”按钮，绘制出线段BA’，修改标签“A’”为“E”。同法，以点E为中心点，旋转BE绘制出EB’，修改标签为F，单击工具箱上的“直尺”工具，连接点A和点F，绘制出线段FA。

第5步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中点A、点B、点E和点F，依次单击“构造”→“多边形内部”菜单命令，绘制正方形内部。用同样上述方法，绘制边AC和边BC对应的正方形ACGH和正方形BCIJ，并分别绘制正方形内部。

第6步，同时选中3个正方形，依次单击“度量”→“面积”菜单命令，在操作区显示3个度量值。选中两条直角边对应的正方形的面积度量值，单击“度量”→“计算”菜单命令，计算两个度量值的和。选中操作区中显示的两直角边对应的正方形面积的和的度量值和斜边对应的正方形的面积度量值，单击“图表”→“制表”菜单命令，绘制出表格。

The Geometer's Sketchpad软件特色

1.增强的表现力：

(1)点有四种大小尺寸供选择，对线或是轨迹等路径可选的有四种宽度和四种模式的任意组合;

(2)可以通过标记工具创建角标记，标记相等的角度或是直角，以及通过角标识进行角度测算;

(3)可以通过标记工具创建记号来识别路径，标记相等的线段或是相互平行的线;

(4)根据自己的喜好，创建显示多边形的框架，或者隐藏多边形内部;

(5)能对图片、内部或轨迹以及他们的迭代进行透明度的设定;

(6)函数显示的方式可选择y=、f(x)=等，可以通过选择>编辑|设定|文本设定新函数的默认显示方式，或是通过使用计算器的方程弹出菜单选择;

(7)以弧度作为单位时显示角度可以表示为多少分之π或是以小数表示;

(8)通过任意两个点(一个点关联另一个点)自定义一个变换，作为一个范例，几乎可以将这个变换应用到其他任何对象。

2.操作的便捷：

(1)通过使点更大或更有磁性让点更容易被选取;

(2)使用关联菜单方便地选定特定对象的相关命令，包括更改对象层级、更改参数值、更改图片透明参数、构造轨迹的分辨率以及更改迭代深度;

(3)计算器中直接通过键盘快捷键创建参数;

(4)参数具有编辑框，可以直接编辑参数数值;

(5)设置参数精确度，并更容易通过键盘增减调整参数;

(6)创建两个单独的按钮 - 一个隐藏按钮和一个显示按钮 - 在按Shift键的同时选择编辑|动作按钮|隐藏和显示。

3.强大的文本特征

(1)将所创建文件中的标签、数值等热字化，更便捷也更容易将标题的表达数学格式化;

(2)显示的计算、函数和对象的标签统一使用数学排版最常见的斜体;

(3)文本的风格为粗体、斜体或下划线，键盘快捷键Ctrl+B, Ctrl+I, Ctrl+U(Windows);

(4)使用包括数学符号的Unicode，并能实现多语言标题。对希腊字母等使用快捷方式;

(5)设置默认的文本样式，更容易设置标签、标题、数值、操作按钮、表格以及轴刻度;

(6)附着的文本跟随点一起迭代。

4.更多、更好的工具

(1)使用多边形工具来构建带边线的多边形、不带边界或仅仅有边界的;

(2)使用标记工具绘制角标和刻度线，甚至可以用徒手画来定义一个函数;

(3)使用信息工具显示构件间关系或探索对象的属性;

(4)通过选择恰当的对象作为一个自定义命令工具，然后按住Shift键的同时选择了自定义工具菜单中的工具;

(5)更容易选择工具文件夹，工具会自动复制。

5.更多、更好的对象

(1)对图片选装、缩放，并能对图片进行自定义变换;

(2)图片可以附加到一个、两个或三个点上，可使一般仿射变换;

(3)通过多边形剪裁图片，只显示图片的特定部分，你可以改变裁剪形状和大小;

(4)使用了高效率图片压缩技术;

(5)构建轨迹上的位点;

(6)构件基于变化参数的轨迹;

(7)运动按钮来改变参数值;

(8)创建声音播放按钮来播放声波函数。

6.更简便、更强大的图形

(1)通过参数变化探究现实函数族图线;

(2)测算出路径或轨迹上点的比值以及构造路径或轨迹上的特定比值的点;

(3)轻松构造线、圆与方程轨迹的交叉点;

(4)使用三角编号的坐标系统;

(5)使用“手写笔”功能或是导入图片来定义一个函数;

(6)按住Shift键的同时选择测量|横坐标和纵可以进行多点坐标的测量;

(7)Graph | Plot Parametric Curve

7.JavaSketchpad

(1)导出画板文件交互式网页文件，纳入更多的功能，包括方程以及方程构造点;

(2)输出网页文件时自动复制文件jsp5.jar。

The Geometer's Sketchpad适用的工作

三维作图.gsp 三维坐标系工具.gsp

三维工具.gsp 三维平台.gsp

三维透视工具.gsp 三角形工具.gsp

三角形的多种心.gsp 三角形的心.gsp

对于本文件夹.gsp 几何图形标记工具.gsp

函数工具.gsp 分数工具.gsp

动画工具.gsp 向量工具.gsp

四边形工具.gsp 圆工具.gsp

圆规工具.gsp 圆锥曲线.gsp

圆锥曲线工具.gsp 坐标系.gsp

坐标系工具.gsp 复数的运算工具.gsp

外观工具.gsp 实体工具.gsp

工具范例.gsp 文本工具.gsp

正多边形工具.gsp 比较大小.gsp

比较大小工具.gsp 测量工具.gsp

滑块工具.gsp 点阵工具.gsp

物理工具.gsp 画圆锥曲线.gsp

画直观图.gsp 直线与圆锥曲线的交点.gsp

立体几何工具.gsp 立体几何平台工具.gsp

简单工具.gsp 箭头工具.gsp

线工具.gsp 艺术工具.gsp

虚线工具.gsp 角工具.gsp

象限.gsp 造型工具.gsp

高级工具.gsp

集合面板使用教程

一、工具栏的使用

几何画板启动之后左边是默认的工具栏，从上至下依次是：选择工具、点工具、圆工具、画线工具、多边形工具、文本标签工具、标记工具、信息工具、自定义工具。要使用工具，只要用鼠标的左键选中相应的工具即可。

当在工作区画出某个图形时，图形都有系统默认的名称，如果看不到，可以用“文本工具”在图形上单击一下即可，再单击，名称消失;如果想修改名称，则双击名称，在出现的窗口中输入新的名称就可以了。另外，在工具栏中有一些隐藏的工具，选择工具有“平移、旋转、缩放”，画线工具有“画线段、画射线、画直线”，调出隐藏工具的方法是左键单击对应按钮，按住左键不放，在右侧出现其他工具，再将鼠标箭头移到想选择的工具上，松开左键即可。

二、颜色填充技巧

在很多的绘图软件中都提供了颜色填充的工具，在几何画板中却没有在工具栏中提供这一工具，其实这是它的特点，因为几何画板中的图形是要变动的，填充颜色的部分也要随之而变化。

首先，要选定添加颜色的图形，如图形是一个圆，则选择菜单“构造”中的“圆内部”;如图形是一个多边形，则选择菜单“构造”中的“多边形内部”;如图形是一段弧，选择菜单“构造”中的“扇形内部或弓形内部”。这里要说明一点，为多边形添加颜色，一定要选择多边形的顶点，选择边是没有用的。

三、绘制点的方法

前面提到的画点工具，可以画出两种点，一种是自由点，即可以不受任何限制地到处移动的点，还有一种是可以在一定的范围内移动的点，例如，画好一个圆后，在圆上画上一个点，那么这个点只能在这个圆上移动，不能离开此圆。

下面是另外一种点的画法，选择“绘图”中的“绘制点”，在出现的窗口中可以输入要画的点的坐标，在上方有两种选择，一种是“直角坐标系”，选择它就表示该点是在直角坐标系里面;第二种是“极坐标系”，选择它就表示该点是在极坐标系里面。

四、利用数学思想制作基本图形

在数学中，有很多重要的图形，像圆、圆弧、椭圆、双曲线、抛物线等等，在几何画板中如果想使用某些图形，需要我们结合画板的基本功能和数学的有关知识来制作，下图是一个利用几何画板制作的椭圆。

利用“轨迹”命令可以得到下图中的椭圆，其他无用的对象最后可以隐藏起来。其中的数学原理是到两个定点距离之和为一个常数的点的轨迹是椭圆。具体教程可参考：怎样利用椭圆定义构造椭圆。

五、善于利用“变换”命令

“变换”是几何画板中的重要命令，这里的技巧是非常多的，要变换，就要有所依据，所以在实施变换之前，一定要先“标记”，可以标记中心，可以标记向量，可以标记比等等，选定要变换的图形，按照标记，进行相应的变换。其他软件的变换很多都不符合数学的要求，有时我们需要复制一个图形，并且要求复制的图形会随着原始图形的变化而变化，这一点绝对不是CTRL+C和CTRL+V所能实现。如下图就是利用变换命令制作的等于已知角的另一个角。